Binomischer Lehrsatz

Aus Schlauweb

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form

<math> (x+y)^{n},quad ninmathbb{N}</math>

als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form <math>(x+y)^n</math> auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente <math>x</math> und <math>y</math> eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Entrichten <math>ninBbb N_0</math> gilt die Gleichung

<math> (x+y)^n = sum_{k=0}^{n}{n choose k} x^{n-k}y^{k} quad (1)</math>

Gerade gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen <math>x</math> und <math>y</math>.

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

<math> {n choose k} = frac {n!}{(n-k)!cdot k!}</math>  ,

die ihren Namen durch ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit <math>n!=1cdot 2cdotldotscdot n</math> ist dabei die Fakultät von <math>n</math> bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme <math>{nchoose k} x^{n-k}y^k</math> sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl <math>{nchoose k}</math> an das Ringelement <math>x^{n-k}y^k</math> aufzufassen, d.h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als <math>Z</math>-Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Glaubenssatz für den Fall <math>n=2</math> heißt erste Binomische Formel.

Verallgemeinerungen

• Der binomische Lehrsatz gilt auch in beliebigen unitären Ringen, sofern nur <math>x</math> und <math>y</math> miteinander kommutieren, d.h. <math>xcdot y = ycdot x</math> gilt.
• Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

<math>(x+y)^n = x^n + sum_{k=1}^{n-1}{n choose k} x^{n-k}y^{k} + y^n</math>.

• Für mehr als zwei Summanden gibt es den polynomischen Lehrsatz.

Herleitung

Der Beweis funktioniert durch Induktion über <math>n</math>; für jedes konkrete <math>n</math> kann man diese Anleitung auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiel

<math> (x+y)^3={3 choose 0} x^{3} + {3 choose 1} x^{2}y + {3 choose 2} xy^{2} + {3 choose 3} y^{3}=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3</math>

<math> (x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3</math>

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Isaac Newton ist eine Induktion des Theorems auf beliebige reelle Exponenten α durch unendlicher Reihen zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn α eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form

<math> (x+y)^{alpha}=sum_{k=0}^{infty}{alpha choose k}x^{k}y^{alpha - k} quad (2)</math>.

Diese Reihe konvergiert für alle <math> x,yinmathbb{C} </math> mit <math> |x/y| < 1 </math>.

Im Sonderfall <math> alphainmathbb{N}</math> geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann selbst für alle <math> x,yinmathbb{C} </math> gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

<math> {alpha choose k} = frac{alpha (alpha - 1)(alpha - 2) cdots (alpha - k + 1)}{k!} </math>.

Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für α = -1 und y = 1 ergibt sich aus (2) als Ausreißer die Geometrische Reihe.

Weiterführende Literatur

M. Barner, F. Flohr Analysis I. de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.bn:দ্বিপদী উপপাদ্য en:Binomial theorem es:Teorema del binomio fr:Formule du binôme de Newton he:הבינום של ניוטון hu:Binomiális tétel it:Teorema binomiale ja:ä��項定理 ko:이항정리 nl:Binomium van Newton pt:Binómio de Newton ru:Бином Ньютона sv:Binomialsatsen tr:Binom açÄ�lÄ�mÄ� vi:Ä�ịnh lý nhị thức

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