Cardanische Formeln

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Die Cardanischen Formeln sind Formeln zur Lösung reduzierter kubischer Gleichungen (Gleichungen 3. Grades). Sie wurden, zusammen mit Lösungsformeln für biquadratische Gleichungen (Gleichungen 4. Grades), erstmalig 1545 von dem Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Bd. Ars magna veröffentlicht. Gefunden wurde die Lösungsformel für kubische Gleichungen von Tartaglia; laut Cardano wenn schon noch früher durch Scipione del Ferro.

Die Cardanischen Formeln waren eine wichtige Motivation für die Einführung der komplexen Zahlen, da man im Fall des casus irreducibilis durch das Ziehen einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu reellen Lösungen gelangen kann.

Die Cardanischen Formeln verfügen bei der numerischen Lösung von Gleichungen dieser Tage keine praktische Bedeutung mehr. Der Nachweis, dass es keine entsprechenden Formeln für Gleichungen fünften und höhreren Grades geben kann, hat allerdings die Entwicklung der Algebra ausschlaggebend befruchtet (siehe Galoistheorie).

Gleichungen dritten Grades

Die allgemeine Gleichung dritten Grades

<math>a cdot x^3+b cdot x^2+c cdot x+d=0</math>

mit reellen Zahlen <math>a,b,c,d</math> und <math>ane0</math> kann durch Abteilung mit <math>a</math> und Ersatz mit <math>y=x+frac b{3a}</math> in die Form

<math>y^3+p cdot y+q=0</math>

gebracht werden, wobei

<math>p=frac {3ac-b^2}{3a^2}</math> und

<math>q=frac {2b^3}{27a^3} - frac {bc}{3a^2} + frac {d}{a}</math> gilt.

Es sei <math>D=4 cdot p^3+27 cdot q^2</math> die Diskriminante.

Das Lösungsverhalten hängt nun grundlegend vom Vorzeichen der Diskriminante ab:

• <math>D>0</math>: Es gibt genau eine reelle Lösung und zwei echt komplexe Lösungen (B).
• <math>D=0</math>: Es gibt entweder eine doppelte reelle Lösung und eine einfache reelle Lösung (C) oder eine dreifache reelle Lösung (A).
• <math>D<0</math>: Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen (D).

D > 0

Es gibt genau eine reelle Lösung, die durch

<math>y_1=sqrt[3]{-frac q2+sqrt{Big(frac q2Big)^2+Big(frac p3Big)^3}}+sqrt[3]{-frac q2-sqrt{Big(frac q2Big)^2+Big(frac p3Big)^3}}</math>

vorgegeben ist. (Ist dabei eine dritte Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen, so ist die negative und nicht eine der beiden echt komplexen Wurzeln zu wählen, d.h. <math>sqrt[3]{-x}=-sqrt[3]{x}</math>.)

Die anderen beiden, echt komplexen Lösungen sind im Fall <math>qne0</math> die Lösungen der quadratischen Gleichung

<math>y^2+y_1y-frac q{y_1}=0;</math>

im Ausreißer <math>q=0</math> sind die anderen beiden Lösungen

<math>y_{2/3}=pmmathrm isqrt p.</math>

Alternativ kann man die komplexen Lösungen auch direkt angeben: Es sei

<math>omega=frac{-1+mathrm isqrt3}2</math>

eine dritte Einheitswurzel. Dann sind die Lösungen:

<math>y_2=omegasqrt[3]{-frac q2+sqrt{Big(frac q2Big)^2+Big(frac p3Big)^3}}+baromegasqrt[3]{-frac q2-sqrt{Big(frac q2Big)^2+Big(frac p3Big)^3}}</math>

<math>y_3=baromegasqrt[3]{-frac q2+sqrt{Big(frac q2Big)^2+Big(frac p3Big)^3}}+omegasqrt[3]{-frac q2-sqrt{Big(frac q2Big)^2+Big(frac p3Big)^3}}</math>

D = 0

In diesem Fall gibt es eine doppelte reelle Lösung

<math>y_{1/2}=-frac{3q}{2p}=sqrt[3]{frac q2}</math>

und eine einfache Lösung

<math>y_3=frac{3q}p=sqrt[3]{-4q}</math> .

Ist <math>p=q=0</math>, so ist <math>y=0</math> die einzige (dreifache) Lösung.

D < 0 (casus irreducibilis)

Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen, bei ihrer Bestimmung mit der obigen Schema müssen jedoch dritten Wurzeln aus echt komplexen Entrichten berechnet werden. Deshalb wird dieser Fall casus irreducibilis genannt.

Mithilfe der trigonometrischen Funktionen können die Wurzeln jedoch berechnet werden:

<math>y_1 = 2,sqrt{-frac{p}{3}}cdot

cosleft(frac{1}{3}arccosleft(frac{-q}{2}cdotsqrt{-frac{27}{p^3}}right)right)</math>

<math>y_2 = -2,sqrt{-frac{p}{3}}cdot

cosleft(frac{1}{3}arccosleft(frac{-q}{2}cdotsqrt{-frac{27}{p^3}}right) + frac{pi}{3}right)</math>

<math>y_3 = -2,sqrt{-frac{p}{3}}cdot

cosleft(frac{1}{3}arccosleft(frac{-q}{2}cdotsqrt{-frac{27}{p^3}}right) - frac{pi}{3}right)</math>

Komplexe Koeffizienten

Das Vorgehen ist für komplexe Koeffizienten weitgehend analog, es gibt aber nur zwei Fälle:

• <math>Dne0</math>: Die oben für den Fall <math>D>0</math> angegebenen Formeln gelten analog; die beiden dritten Wurzeln sind dabei so zu wählen, dass ihr Produkt <math>-p/3</math> ergibt.
• <math>D=0</math>: Die oben für den Fall <math>D=0</math> angegebenen Formeln gelten unverändert.

Weblinks

• Formeln von Cardano zur Lösung der Gleichung dritten Grades

Literatur

• Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, Wiesbaden 2004, ISBN 3528131926, Einführung
• Heinrich Dörrie: Kubische und biquadratische Gleichungen, München 1948
• Ludwig Matthiessen: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen, Leipzig 1896, Dokumenten-Serverfr:Méthode de Cardan

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