Mathematik

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Die Mathematik (griechisches Wiewort μαθηματική [τέχνη], Transkription mathēmatikē [téchnē], „[die Kniff des] Lernen[s]“, „zum Aneignen gehörig“; vom altgriechischen Zeitwort μανθάνω, manthánō, „ich lerne“) ist die Wissenschaft, welche aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; in diesen Tagen wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben.

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik

Die Mathe ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, daher datiert die Orientierung an der Fragestellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im MA überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt.

In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Erklärung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems.

Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen kumulativ komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Therapie entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als übrige Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und namentlich die algebraische Geometrie geachtet werden.

Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Rechnen im gleichen Sinne nicht länger wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Rechnen im Vorhinein stand.

Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Rechnen schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Umfang mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):

• das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
• die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
• die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
• das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
• Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
• das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
• das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
• die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
• die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
• die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
• die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
• das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
• die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wiederholt Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
• die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie).

Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht.

Unterschieden werden zusätzlich die reine Rechnen oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit außermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Staatsbürger Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie z. B. Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Über die Frage, zu welcher Rubrik der Wissenschaften die Mathe gehört, wird seit langer Zeit umstritten diskutiert. Im englischen und französischen Sprachgebiet wird Mathe allein als Science eingestuft, eine andere Distinktion erfolgt dort in der Regel nicht.

Jede Menge mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, zum Beispiel aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Rechnen wird als Hilfswissenschaft in fast allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Postulieren nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Dennoch wird in der neueren Philosophie der Mathematik davon ausgegangen, dass auch die Methodik der Rechnen immer mehr derjenigen der Naturwissenschaft entspricht. Im Anschluss an Imre Lakatos wird eine "Renaissance des Empirismus" vermutet, worauf auch Mathematiker Hypothesen aufstellen und für diese Bestätigungen suchen.

Meist gehört die Rechnen an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen.

Die Rechnen hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; z. B. ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathe zu den Geisteswissenschaften folglich Sinne rechnen, aber auch die Einteilung der Philosophie ist umstritten.

Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, angrenzend der Rechnen wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - zum Beispiel die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathe bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während z. B. alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher im Grunde vorläufig sind, werden mathematische Aufstellen durch reine Gedankenoperationen entzwei hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein strikt logischer Beweis entdeckt werden, vorweg sie als mathematischer Satz renommiert werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze in der Regel endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Rechnen als die exakte Lehre betrachtet werden kann. Gerade diese Präzision ist für zig Volk das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Rechnen als die Mutter aller Wissenschaften.

Die Rechnen ist daher auch eine kumulative Wissenschaft. Man kennt in diesen Tagen über 2000 mathematische Fachzeitschriften. Dies birgt jedoch auch eine Gefahr: durch neuere mathematische Gebiete geraten ältere Gebiete in den Hintergrund. Nahe sehr allgemeinen Postulieren gibt es auch sehr spezielle Aussagen, für die keine echte Induktion bekannt ist. Donald Ervin Knuth schreibt dazu im Vorwort seines Buches "Concrete Mathematics":

The course title "Concrete Mathematics" was originally intended as an antidote to "Abstract Mathematics", since concrete classical results were rapidly being swept out of the modern mathematical curriculum by a new wave of abstract ideas popularly called the "New Math". Abstract mathematics is a wonderful subject, and there's nothing wrong with it: It's beautiful, general and useful. But its adherents had become deluded that the rest of mathematics was inferior and no longer worthy of attention. The goal of generalization had become a fashionable that a generation of mathematicians had become unable to relish beauty in the particular, to enjoy the challenge of solving quantitative problems, or to appreciate the value of technique. Abstract mathematics was becoming inbred and losing touch with reality; mathematical education needed a concrete counterweight in order to restore a healthy balance.

Es kommt somit der älteren mathematischen Literatur eine besondere Bedeutung zu.

Anwendungsgebiete

Die Mathe ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über etliche Jahrhunderte hinweg hat die Rechnen Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und andersherum die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Z. B. hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Hochschulausbildung der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat angebracht der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert.

Reziprok haben Mathematiker immer wieder einmal Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen entdeckt haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik und der elektrischen Steuerungstechnik für Apparaturen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Auch galt die Beschäftigung mit der Zahlentheorie nachhaltig als intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären dieser Tage allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar.

Siehe auch: Angewandte Mathematik

Fortschreiten durch Problemlösen

Typisch für die Rechnen ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet.

Wenn ein Grundschüler das Addieren natürlicher Blechen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Anfrage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Fragestellung lässt sich dann anders formulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sowie aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Anfrage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit schon über die Grundschulmathematik hinauf führt.

Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Büffeln ist die Mathe auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung bedeutend anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung zig Jahrhunderte vorbei und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren.

Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathe voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathe in Form von Theorien präsentiert, die mit Behaupten beginnen, welche als wahr geachtet werden; daraus werden dann sonstige wahre Behaupten hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Konzept anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen bisherig Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien.

Summa summarum verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Verneinung dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selbst lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Konzept beweisen. Dies hat zur Folge, dass es nach wie vor nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die gesamte Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathe üblicherweise aufbaut.

Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die gleichermaßen durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände feststehend sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Rechnen entgegengesetzt die Methode feststehend und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathe immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein.

Die Verbessertes Modell der Rechnen geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht unanzweifelbar ordentlich sind, anstatt in erster Linie durch die Ahnung und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Metabolismus in eine axiomatische Modell erfolgt erst später, wenn andere Mathematiker sich mit den dann nimmer ganz so neuen Ideen beschäftigen.

Allerdings sind der Axiomatisierung der Rechnen auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass in jedem mathematischen Axiomensystem entweder wahre, jedoch nicht beweisbare Aufstellen existieren, oder aber das System widersprüchlich ist.

Mathe benutzt zur Schilderung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und an erster Stelle Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Mathematische Fähigkeiten sind zwar ein charakteristisches Merkmal des Menschen, aber auch schon Bonobos und einige zusätzliche Tierarten sind in begrenztem Umfang fähig, einfache mathematische Leistungen zu hereinholen (Siehe hierzu auch: Mathematisches Verständnis, Zahlenverständnis bei Tieren).

Mathematik als Schulfach

Rechnen spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Rechnen beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich professionell mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathe beschäftigen, nennt man Mathematiker.

Benachbart dem Mathematikstudium auf Diplom, in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Rechnen setzen kann, sind in neuerer Zeit des Öfteren interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Außerdem ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Dipl. auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen und Ingenieure.

Die häufigsten Brötchengeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, besonders im Bereich mathematischer Finanzmodelle und Consulting, aber auch im IT-Bereich. Darüber aufwärts werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate

• Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
• Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
• Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
• Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur

• Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
• Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
• Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks

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• Mathworld.Wolfram.com Sehr umfangreiche Mathematikquelle im Internet
• Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank
• Matheplanet - Mathematikportal
• Mathematische Hintergründe und mathematisches Lexikon
• Deutsche Mathematiker-Vereinigung
• "5 Minuten Mathematik" Regelmäßige Kolumne des Matheprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
• Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen
• webmath.com - solve your math problem Englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu vielen Problemen und deren Lösungswegen!

Schulmathematik

• mathematik-wissen.de
• mathe1.de
• mathepower.com
• Mathewiki von ZUM.de Rechnen für Lehrer

Geschichtliches

• Zeugnisse über Mathematik
• Images of Some Famous Mathematical Works (Bilder berühmter mathematischer Werke)
• Mathematik auf Sumerischer Basis

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