Tropisches Jahr

Bahnstörungen

Die antiken und mittelalterlichen Astronomen hatten keinen Grund zu bezweifeln, dass die Länge des so definierten tropischen Jahres zeitlebens konstant sei. Zur Messung genügte es also, z. B. den Zeitspanne zwischen zwei beliebigen Frühlingsäquinoktien zu messen und durch die Anzahl der verflossenen Jahre zu dividieren. Die Newtonsche Gravitationstheorie zeigte jedoch, dass die Planeten ihre Bahnen gegenseitig geringfügig beeinflussen. Auf Basis von dieser Bahnstörungen durchläuft die Erde ihre Bahn nicht immer in exakt dem gleichen Zeitraum. Die folgende Tabelle gibt einige Beispiele für den zeitlichen Abstand zweier Durchgänge der Sonne durch den Frühlingspunkt:

Es wäre also notwendig gewesen, diese Störungen herauszurechnen oder einen Mittelwert über hinreichend diverse tropische Jahre zu bilden, um einen eindeutigen Zahlenwert für die Länge des tropischen Jahres zu erhalten.

Elliptische Erdbahn

Anliegend diesen Bahnstörungen gibt es noch eine zweite Komplikation, die den Zeit zwischen zwei Frühlingsanfängen beeinflusst. Die Erde durchläuft ihre elliptische Bahn mit variabler Geschwindigkeit. Im Perihel läuft sie am schnellsten, im Aphel am langsamsten. Da der Frühlingspunkt der Sonne wider wandert, hat die Sonne nicht die gesamte Bahnellipse durchlaufen, wenn sie wiederum auf ihn trifft: Der Zeitabstand zwischen zwei Frühlingspunkt-Passagen ist daher kürzer als der Zeitspanne zwischen zwei Perihel-Passagen, und zwar um die Zeitspanne, welche die Sonne für das nicht durchlaufene Bahnstück gebräucht hätte. Nun ist das eingesparte Bahnstück immer (fast) gleich groß, aber es wird mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten durchlaufen, je nachdem, ob es sich zur Zeit in Perihel- oder Aphelnähe befindet, wie es das zweite Keplergesetz beschreibt. Entsprechend ist die eingesparte Zeit kürzer (und das so definierte tropische Jahr länger) oder länger (und das tropische Jahr kürzer) als der Mittelwert. Es dauert etwa 21000 Jahre (Platonisches Jahr), bis der Frühlingspunkt vom Sonnennähe über das Aphel wiederum zum Sonnennähe zurückgewandert ist, entsprechend unterliegt die Zeitraum des so definierten tropischen Jahres einer Fluktuation von 21000 Jahren Länge. Um ein mittleres tropisches Jahr zu erhalten, müßte man also über 21000 Jahre mitteln. Darüber auf ist die Amplitude dieser Schwingung leicht veränderlich, da die Exzentrizität der Erdbahn ein wenig schwankt.

Gegenwärtig beträgt der zeitliche Abstand zweier Passagen durch den Frühlingspunkt (nach Abzug der oben erwähnten Schwankungen zwecks Bahnstörungen) 365^d 5^h 49^m 1^s. Er nimmt um knapp 0,9 Sekunden pro Jahrhundert zu, da sich der Frühlingspunkt dem Perihelium der scheinbaren Sonnenbahn nähert.

Die Länge des als Rückkehr zum präzedierenden Start definierten tropischen Jahres hängt also von der Lage des Startpunktes bezüglich des Perihels ab. Daraus folgt auch, dass speziell die Zeitabstände zweier Passagen durch den Herbstpunkt, durch den Sommer-Sonnwendpunkt oder den Winter-Sonnwendpunkt jedes Mal verschieden sind, da diese unterschiedliche Positionen bezüglich des Perihels haben. Die Tabelle zeigt die gegenwärtigen Abstände zweier Passagen durch die betreffenden Punkte (nach Abzug der Bahnstörungen):

Die Länge des tropischen Jahres nach dieser Bestimmung hängt also von der willkürlichen Wahl des Frühlingspunktes als Start des tropischen Jahres als mittleres Sonnenjahr ab.

Präzessionsschwankungen

Als dritte Schwierigkeit schließlich ist die Geschwindigkeit, mit der der Frühlingspunkt vorwärts der Ekliptik präzediert, nicht strikt konstant. Die Präzession wird durch den Gravitationseinfluss von Mond, Sonne und Planeten verursacht. Die Bahnen der letzteren den Kürzeren ziehen aber gegenseitigen Störungen und verändern sich geringfügig (ein typisches Mehrkörper-Problem), was wiederum dazu führt, dass die Präzessionsbewegung gegenwärtig leicht beschleunigt. Dieser Effekt wird im nächsten Abschnitt näher behandelt.

Moderne Definition: Durchlaufen von 360°

Wegen der beschriebenen Unzulänglichkeiten der früheren Bestimmung des tropischen Jahres als (mittlerer) Abstand zweier Passagen der Sonne durch den Frühlingspunkt lautet die moderne Definition:

Das tropische Jahr ist der Zeitraum, in welchem die mittlere Länge der Sonne um 360° zunimmt.

Die Länge wird dabei üblicherweise auf das „mittlere Äquinoktium des Datums“ bezogen, welches sich ob der Präzession langsam bezüglich des Fixsternhintergrunds bewegt. Die Tempo der Längenänderung ist also in diesem langsam – aber gleichmässig – rotierenden Bezugssystem zu bestimmen.

Mittlere Länge

Die ekliptikale Länge <math>lambda</math> eines realen Himmelskörpers auf einer elliptischen und mit variabler Geschwindigkeit durchlaufenen Bahn läßt sich für einen beliebigen Zeitpunkt <math>t</math> berechnen, indem man zunächst die mit konstanter Tempo <math>mu</math> zunehmende Länge <math>lambda_0 + mu cdot t</math> eines fiktiven Himmelskörper (Mittleres Objekt) auf einer kreisförmigen Bahn gleicher Umlaufdauer bestimmt und dann durch Addieren einer relativ leicht zu berechnenden Korrektur, der so genannten Mittelpunktsgleichung, die Länge auf der elliptischen Bahn erhält. Bei höheren Genauigkeitsansprüchen sind dazu noch die durch übrige Himmelskörper verursachten Bahnstörungen zu addieren. Die Mittelpunktsgleichung und die Störungen sind periodische Größen. Zusätzliche Terme in <math>t^2</math>, <math>t^3</math> etc. berücksichtigen gegebenenfalls nichtperiodische (so genannte säkulare) Driften, welche im gleichen Sinne durch Störungen verursacht werden:

<math>lambda(t) , = , lambda_0 , + , mu cdot t , + , mathrm{Mittelpunktsgleichung}(t) , + , mathrm{Stddot orungen}(t) , + , a_1cdot t^2 , + , a_2cdot t^3 , + , ...</math>

Als mittlere Länge <math>lambda_m</math> bezeichnet man definitionsgemäß den obigen Ausdruck ohne die (weggemittelt gedachten) periodischen Terme:

<math>lambda_m(t) , = , lambda_0 , + , mu cdot t , + , a_1cdot t^2 , + , a_2cdot t^3 , + , ...</math>

Mittlere Länge der Erde

Die mittlere Länge der Erde, bewölkt auf das mittlere Äquinoktium des Datums, ist vorgegeben durch

<math>lambda_m(t) , = , 100{,}46645683^circ +1296027711{,}03429^{} cdot , t , + , 109{,}15809^{} cdot , t^2 , + , 0{,}07207^{} cdot , t^3 , - , 0{,}23530^{} cdot , t^4 , - , 0{,}00180^{} cdot , t^5 , + , 0{,}00020^{} cdot , t^6</math>

Dabei ist <math>t</math> die von der Epoche J2000.0 aus gerechnete Zeit in Julianischen Jahrtausenden zu je 365250 Ephemeridentagen, gemessen in Dynamischer Zeit:

<math>t , = , (JDE , - , 2451545{,}0) / 365250</math>.

Man beachte, dass die Zahlenwerte teilweise in Grad und partiell in Bogensekunden feststehend sind. Die Rezept ist anwendbar für die Jahre -4000 bis +8000. Sie gilt nach Addition von 180° auch für die scheinbare Bewegung der Sonne. Die nichtlinearen Terme werden hauptsächlich von der schon erwähnten Akzeleration der Präzession erzeugt.

Das instantane tropische Jahr

Die Geschwindigkeit, mit der sich die mittlere Länge ändert, erhält man durch Ableiten nach der Zeit:

<math>frac{mathrm{d}lambda_m(t)}{mathrm{d}t} , = , 1296027711{,}03429^frac{mathrm{}}{mathrm{Jul.Jtsd.}} + , 2 cdot 109{,}15809^frac{mathrm{}}{mathrm{Jul.Jtsd.}^2} cdot , t , + , 3 cdot 0{,}07207^frac{mathrm{}}{mathrm{Jul.Jtsd.}^3} cdot , t^2 , + ...</math>

Am 1. Jänner des Jahres 2000 um 12 Uhr Dynamischer Zeit, also für <math>t = 0</math>, änderte sich die mittlere Länge der Sonne mit einer Tempo von

<math>frac{mathrm{d}lambda_m}{mathrm{d}t}(t=0) = 1296027711{,}03429^frac{mathrm{}}{mathrm{Jul.Jtsd.}}</math>.

Um mit dieser Tempo eine Strecke von 360° = 1296000" zurückzulegen, braucht sie (unter gleichzeitiger Umrechnung von Julianischen Jahrhunderten in Tage) <math>mathrm{D_{tr}} , = , frac{1296000^{mathrm{}}}{1296027711{,}03429^frac{mathrm{}}{mathrm{Jul.Jtsd.}}} cdot 365250^frac{mathrm{d}}{mathrm{Jul.Jtsd.}} = 365{,}24219040211^mathrm{d} = 365^mathrm{d} , 5^mathrm{h} , 48^mathrm{m} , 45{,}250742^mathrm{s}</math>.

Ein neuerer Wert beträgt 365^d 5^h 48^m 45,2520^s für den Beginn des Jahres 2000.

Man beachte, dass dies der Dauer ist, den die Sonne unter Einbehaltung der Tempo vom 1. Jan. 2000 bräuchte, um 360° zurückzulegen. Es ist nicht der Zeitraum, nach dem sie tatsächlich 360° zurückgelegt hat (dieser würde 365^d 5^h 48^m 45,248085^s betragen), denn während dieses Jahres hat sich ihre Tempo ja wegen der säkularen Terme geringfügig erhöht. Die oben berechnete Jahreslänge ist bloß eine weitere Stil für die Geschwindigkeit, mit der sich die mittlere Länge der Sonne zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert; es handelt sich um die so genannte instantane Jahreslänge. Das ist parallel mit der Angabe, ein Fortbewegungsmittel bewege sich im Moment (instantan) mit einer Tempo von 100 Kilometern pro Stunde. Man muss, um diese Angabe machen zu können, nicht warten, bis das Vehikel tatsächlich 100 km zurückgelegt hat. Besonders kann es für die 100 km auch weniger als eine Stunde brauchen, wenn die Tempo während der Reise zunimmt. Dem entsprechend wurde von Beginn an die Jahreslänge für „den Beginn des Jahres 2000“ angegeben, nicht „für das Jahr 2000“.

Da beim Ãœbergang zur mittleren Länge der periodische Einfluss der Bahnelliptizität „weggemittelt“ wurde und sowieso nur die momentane Tempo betrachtet wird, spielt es für die Begriffsbestimmung keine Rolle mehr, an welcher Stelle der Bahn der Start liegt. Die moderne Begriffserklärung ist also unabhängig vom Frühlingspunkt.

Veränderlichkeit des tropischen Jahres

Im vorigen Abschnitt wurde die Länge des tropischen Jahres speziell für den Zeitpunkt des 1. Januar 2000 abgeleitet, indem die Geschwindigkeit, mit der sich die mittlere Länge ändert, für den Spezialfall <math>t=0</math> berechnet wurde. Aufbewahren wir für den allgemeinen Ausdruck für <math>frac{mathrm{d}lambda_m}{mathrm{d}t}(t)</math> bei, so ist die instantane tropische Jahreslänge <math>D_{tr}</math> für beliebige Zeitpunkte <math>t</math> vorgegeben durch

Ist eine Potenzreihe

<math>S , = , a + bx + cx^2 + dx^3 + ...</math>

gegeben, so läßt sich ihr Reziprokes <math>1/S</math> ebenso in eine Potenzreihe entwickeln, und es ist

<math>frac{1}{S} , = , frac{1}{a} , - , frac{b}{a^2}x , + , left( frac{b^2}{a^3}-frac{c}{a^2} right)x^2 , + , left( frac{2bc}{a^3}-frac{d}{a^2}-frac{b^3}{a^4} right)x^3 , + , ...</math>.

Für obigen Ausdruck folgt damit als Jahreslänge (unter gleichzeitiger Umrechnung von Julianischen Jahrtausenden in Tage):

Die instantane Länge des tropischen Jahres betrug also am 1. Jan. 2000 365^d 5^h 48^m 45,250742^{s, am 1. Juli 2000 365d 5h 48m 45,248093s und am 31. Dez. 2000 365d 5h 48m 45,245415s. Der Zeitraum, den die Sonne brauchte, um – am 1. Jänner bei 0° startend – summa summarum 360° zurückzulegen, betrug 365d 5h 48m 45,248085s; das ist der Durchschnittswert der instantanen Jahreslängen, die im Verlaufe dieses Zeitraums auftraten. Dies ist einheitlich mit der Tatsache, dass die Fahrdauer, die ein Gefährt für eine bestimmte Strecke braucht, der Mittelmaß Ã¼ber seine im Verlaufe der Strecke gefahrenen Momentangeschwindigkeiten ist. (Genau genommen ist in beiden Fällen die benötigte Gesamtzeit das reziproke des Mittelwerts über die Reziprokwerte der Momentangeschwindigkeiten).}

In all diesen Formeln ist unter Tag der idealisierte und zeitlebens gleich lange Ephemeridentag zu je 86400 SI-Sekunden zu verstehen. Für die Frage, wieviele reale Erdumdrehungen bzw. wieviele mittlere Sonnentage auf ein tropisches Jahr entfallen, wären zusätzlich die Schwankungen und die langfristige Verzögerung der Erdrotation zu berücksichtigen.

Vergleich

Die nebenstehende Illustration zeigt zum Vergleich die Längen der tropischen Jahre unterschiedlicher Begriffserklärung über eine Zeit von 16 Jahrtausenden hinweg.

Die farbigen Kurven stellen jeweilig den Phase dar, den die Sonne braucht, um nach einem vollen Umlauf zum selben Referenzpunkt auf der Ekliptik zurückzukehren, und zwar für die Referenzpunkte Frühlingsäquinoktium, Sommersonnwende, Herbstäquinoktium und Wintersonnwende. Wie deutlich zu erkennen ist, hängt dieser Zeitspanne von der Wahl des Referenzpunktes ab, durchläuft aber jedes Mal vergleichbare Schwingungen mit einer Schwingungsweite von knapp einer Minute und einer Periodenlänge von etwa 21000 Jahren (nach welcher die präzedierenden Referenzpunkte nochmal dieselbe Stellung bezüglich des Perihels einnehmen).

Die graue Kurve zeigt die Länge des tropischen Jahres nach der 360°-Definition. Sie ist unabhängig von Referenzpunkten und weist nur eine geringe Fluktuation zu Recht langer Periode auf, welche mit Ungleichförmigkeiten der Präzession zusammenhängt.

Historische Entwicklung der Messung

Die Erkenntnis, dass sich die Sonnenstände und damit die Jahreszeiten im Rhythmus von etwa 365 Tagen wiederholen, stammt aus prähistorischen Zeiten. Unglücklicherweise sind aus den älteren Kulturen im besten Fall sehr vage Daten über ihre Know-how der Jahreslänge überliefert.

In der babylonischen Weltraumforschung gab es keinen allgemein verbindlichen Zahlenwert für die in Tagen ausgedrückte Länge des Jahres. Die in verschiedenen astronomischen Berechnungssystemen verwendeten Kenngröße nachkommen Jahreslängen zwischen 365^d 4^h und 365^d 6,6^h.

Der griechische Charakter Meton führte im Jahr 432 v.Chr. in Athen einen auf dem Metonischen Zyklus beruhenden Kalendarium ein, der einer Jahreslänge von 365 1/4 + 1/76 Tagen entsprach. Hundert Jahre später modifizierte Kallippos diesen Zyklus, indem er jedes Mal einen Tag in vier Metonischen Zyklen fortließ und so den Kallippischen Menses erhielt, der einer Jahreslänge von 365 1/4 Tagen entsprach.

Die früheste überlieferte Anleitung einer Bestimmung der Jahreslänge stammt von Ptolemäus, der im Almagest die von Hipparch im 2. Jhdt. v.Chr. benutzten Methoden und Beobachtungen beschrieb. Auf Hipparchs Entdeckung der Präzession geht auch die Unterscheidung zwischen siderischem und tropischem Jahr zurück. Unter letzterem verstand Hipparch den Periode zwischen zwei entsprechenden Äquinoktien oder Solstitien. Hipparch bestimmte die Zeitpunkte einiger Äquinoktien und Solstitien und verglich sie mit entsprechenden Beobachtungen, die Meton und Euctemon (5. Jhdt. v.Chr.) und Aristarch (3. Jhdt. v.Chr.) beschäftigt hatten. Er erhielt 365 1/4 - 1/300 Tage für das tropische Jahr, das entspricht etwa 365^d 5^h 55^m, während der tatsächliche Wert seinerzeit 365^d 5^h 49^m 9^s betrug.

Hipparch hatte noch Zweifel geäußert, ob das tropische Jahr wirklich eine konstante Länge habe. Ptolemäus (2. Jhdt. n.Chr.) bestimmte die Jahreslänge wiederholt mit derselben Methode, erhielt exakt ebenso Ergebnis und sah keinen Grund, an der Dauerhaftigkeit der Jahreslänge zu zweifeln.

Gegen Ende des Mittelalters waren Ungenauigkeiten in den Planetentafeln des Almagest zu erheblichen Fehlern angewachsen, so dass eine Überarbeitung dieser Tafeln notwendig wurde. Das Ergebnis waren die 1252 veröffentlichten Alfonsinischen Tafeln. Diese Tafeln benutzten eine Jahreslänge von 365^d 5^h 49^m 16^s.

Im Jahr 1551 erschienen die von Erasmus Reinhold erarbeiteten Prutenischen Tafeln, die auf der heliozentrischen Planetentheorie von Nikolaus Kopernikus beruhten. Dazu verbesserte Reinhold die ursprünglich von Kopernikus angegebenen Zahlenwerte und benutzte eine Jahreslänge von 365^d 5^h 55^m 58^s.

Schließlich veröffentlichte Johannes Kepler im Jahr 1627 seine Rudolphinischen Tafeln. Er hatte eigene Beobachtungen mit denen des Astronomen Waltherus verglichen und eine Jahreslänge von 365^d 5^h 48^m 45^s erhalten.

Während der nächsten Jahrhunderte befasste sich knapp jeglicher Person auch mit der Bestimmung der Jahreslänge. So fand zum BeispielJ.J.L. de Lalande 365^d 5^h 48^m 45,5^s. Mit Lalande begann man auch, den himmelsmechanischen Komplikationen bei der Bestimmung der Jahreslänge Aufmerksamkeit zu schenken, nämlich der Bewegung des Perihels, der säkularen Geschwindigkeitszunahme der Präzession und den hauptsächlich durch den Mond sowie Venus und Jupiter verursachten Bahnstörungen. Es war mittlerweile klar geworden, dass die Zeitpunkte einzelner Äquinoktien oder Solstitien wegen dieser Einflüsse Schwankungen von mehreren Minuten abkacken und die bloße Messung ihrer Zeitabstände daher je nach verwendeten Beobachtungspaaren zu unterschiedlichen Ergebnissen führen musste.

Erst als die analytische Himmelsmechanik im 18. Jhdt. weit hinlänglich entwickelt war, um die Einzelheiten der mittleren Bewegung der Sonne und ihre zeitliche Veränderlichkeit aus der Gravitationstheorie abzuleiten, konnte das tropische Jahr auf eine von periodischen Störungen unabhängige Weise definiert werden. Einzig die durch die Akzeleration der Präzession verursachte säkulare Verkürzung des tropischen Jahres wurde als eine Eigenschaft desselben definiert und nicht herausgerechnet; das tropische Jahr wurde also als auf lange Sicht veränderlich betrachtet.

So gab J.H. von Mädler im Jahre 1840 die (damals) gegenwärtige Länge des tropischen Jahres als 365^d 5^h 48^m 47,5711^s mit einer Reduktion von 0,595 s pro Jahrhundert an.

U.J.J. LeVerrier beschrieb die momentane Länge des tropischen Jahres und seine Veränderlichkeit durch

und S. Newcomb erhielt aus seiner Sonnentheorie

In den beiden letzten Ausdrücken ist <math>T</math> die vom Zeitpunkt 1900 Januar 0,5 Ephemeridenzeit an gemessene Zeit in Julianischen Jahrhunderten zu je 36525 Tagen.

Gemäß der Planetentheorie VSOP 87 beträgt die Länge des tropischen Jahres

Hier wird <math>t</math> in Julianischen Jahrtausenden zu je 365250 Tagen seit der Periode J2000.0 gemessen. Ein Tag ist in den letzten drei Formeln jedes Mal ein Ephemeridentag, also ein mittlerer Sonnentag zu Beginn des Jahres 1900. Die langsame Zunahme der Tageslänge wäre zusätzlich zu berücksichtigen.

Für weitere frühe Bestimmungen der Jahreslänge siehe Al-Battani, Al Sufi, Ulug Beg.

Siehe auch

• Tropische Periode, Synodische Periode
• Siderisches Jahr, Anomalistisches Jahr

Quellen

Definitionen: (Meeus2002), S. 359
Tabelle, Abstand zweier Frühlingsanfänge: berechnet aus den Äquinoktien in (Meeus1995)
Tabelle, Phase der Äquinoktial- und Solstitialjahre: (Meeus2002), S. 362
Formel für mittlere Länge der Erde: (Meeus2002), S. 360; Originalquelle: (Simon1994)
Potenzreihenentwicklung des Reziproken einer Potenzreihe: (Bronstein1993)
Grafik, Vergleich verschiedener Definitionen: nach Bahnelementen aus (Meeus2002), Kap. 63; Originalquelle (Simon1994). Die 360°-Kurve ist das Reziproke der instantanen Tempo der mittleren Länge der Sonne, ausgedrückt in Ephemeridentagen pro 360°. Die anderen Kurven sind die Zeitintervalle, ausgedrückt in Ephemeridentagen, welche die ekliptikale Länge der Sonne (berechnet aus den genannten mittleren Bahnelementen) für einen vollen Umlauf braucht, jeweilig für Start- und Zielpunkt Frühlingsäquinoktium, Sommersonnwende, Herbstäquinoktium und Wintersonnwende.
Geschichte: hauptsächlich (Meeus1992)
Babylonische Jahreslängen: (Neugebauer1975), S. 528
Meton, Kallippos, Hipparch, Ptolemäus: (Ptolemäus0150), S. 12, 131ff.
Mädler: (Mädler1852), S. 147

• (Bronstein1993): Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A., Musiol, G., Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt/M. 1993, ISBN 3-8171-2001-X
• (Mädler1852): Mädler, J.H.: Populäre Astronomie. Carl Heymann, Spreeathen 1852
• (Meeus1992): Meeus, J., Savoie, D.: The history of the tropical year, siehe Literatur
• (Meeus1995): Meeus, J.: Astronomical Tables of the Sun, Moon and Planets. Willmann-Bell, Richmond 1995, ISBN 0-94339645-X
• (Meeus2002): Meeus, J.: More Mathematical Astronomy Morsels. Willmann-Bell, Richmond 2002, ISBN 0-943396-74-3
• (Neugebauer1995): Neugebauer, O.: A History of Ancient Mathematical Astronomy. Springer, Hauptstadt 1975, ISBN 3-540-06995-X
• (Ptolemäus0150): Ptolemäus, C.: Almagest. Alexandria, ca. 150
• (Simon1994): Simon, J.L. et al.: Numerical expressions for precession formulae and mean elements for the Moon and the planets, Astronomy and Astrophysics, vol. 282, 663-683 (1994) (PDF 2,7 MB)

Literatur

• Borkowski, K.M.: The Tropical Year and Solar Calendar, J. Roy. Astron. Soc. Can., Vol. 85, No. 3, 1991 (PDF 788 KB)
• Meeus, J., Savoie, D.: The history of the tropical year, J. Br. Astron. Assoc. 102, 1, 1992 (PDF 548 KB)ca:Any tròpic

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