Winkel (Geometrie)

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Der Winkel ist ein Sache der Geometrie. Mit einem Winkel kann man messen, wie sich zwei Geraden oder zwei Ebenen schneiden.

Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Arten von Winkeln 3 Rechter Winkel 4 Vollwinkel 5 Gebräuchliche Winkelmaße 6 Andere Möglichkeiten Winkel anzugeben 7 Spezielle Winkelpaare 7.1 Komplementwinkel oder Komplementärwinkel 7.2 Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel 7.3 Scheitelwinkel 7.4 Nebenwinkel 7.5 Nachbarwinkel oder E-Winkel 7.6 Stufenwinkel oder F-Winkel 7.7 Wechselwinkel oder Z-Winkel 7.8 Winkel mit paarweise rechtwinkligen Schenkeln 8 Winkelkonstruktion 8.1 Konstruktion des 90-Grad-Winkels (oder rechten Winkels) 8.1.1 Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte) 8.2 Konstruktion eines 60-Grad-Winkels 8.2.1 Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke): 8.2.2 Folgerung (Konstruktion von Sechsecken (Hexagon)) 8.3 Konstruktion eines 72- oder 54-Grad-Winkels 8.4 Addition und Subtraktion von Winkeln 8.5 Winkelhalbierung 8.5.1 Folgerung 9 Winkelmessung 10 Trivia 11 Weblinks

Definition

Ein Winkel wird durch 3 Punkte definiert, die in einer Ebene liegen. (In den beiden Ausnahmen gestreckter Winkel und Vollwinkel sind es unendlich zig Ebenen)

Einer dieser Punkte ist Ausgangspunkt von zwei Strahlen, die durch die anderen beiden Punkte laufen.

Der erste Punkt heißt Scheitel des Winkels oder Winkelscheitel.

Die beiden Strahlen heißen Schenkel des Winkels.

Man kann auch sagen, ein Winkel entsteht durch eine Drehung zweier Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Mit Hilfe des Einheitskreises wird dieses deutlich und die Erklärung der Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktion) folgt daraus sofort. Bei drei Dimensionen gilt das analoge: die Drehung zweier Ebenen, die sich in einer Schnittlinie schneiden.

Da es zwei Möglichkeiten gibt die Geraden oder Ebenen zu drehen und deshalb auch zwei Winkel entstehen, sollte zusätzlich die Drehrichtung angeben werden.

• Linksdrehung, gegen den Uhrzeigersinn, auch math. Positiver Drehsinn genannt.
• Rechtsdrehung, mit dem Uhrzeigersinn, auch math. Negativer Drehsinn genannt.

In der Rechnen ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeiger, also im math. positiven Drehsinn zu wählen. Wenn die Drehung verschieden herum ereignen soll, sollte dies ausdrücklich angegeben werden.

Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben z.B. α oder β bezeichnet. Alternativ gibt man die drei Punkte an, die den Winkel definieren: z.B. Winkel ABC oder <math>angle ABC</math>

Arten von Winkeln

spitzer Winkel 

geringer ¼ Vollwinkel: (0°, 90°) = (0^g, 100^g) = (0, ½·π);

rechter Winkel 

gleich ¼ Vollwinkel: 90° = 100^g = ½·π;

stumpfer Winkel 

größer ¼ und weniger bedeutend ½ Vollwinkel: (90°, 180°) = (100^g, 200^g) = (½·π, π);

gestreckter Winkel 

gleich ½ Vollwinkel: 180° = 200^g = π;

überstumpfer Winkel 

größer ½ und weniger 1 Vollwinkel: (180°, 360°) = (200^g, 400^g) = (π, 2·π);

Vollwinkel 

360° = 400^g = 2·π.

Rechter Winkel

Einen 90°-Winkel bezeichnet man auch als rechten Winkel.

Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel. Jeweilig zwei nebeneinander liegende zusammenzählen sich dabei zu 180°. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind.

Zwei Geraden oder etwaStrecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal.

In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.

Vollwinkel

Der Vollwinkel ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen für die physikalische Größe ebener Winkel. Die Einheit Vollwinkel besitzt kein Einheitenzeichen. Dezimale Vielfache oder Teile dürfen nicht mit SI-Vorsätzen gebildet werden.

Beziehungen: 1 Vollwinkel = 360° = 2 <math>pi</math> rad

Historisches

Es ist versucht worden, durch Normung für den Vollwinkel das Einheitenzeichen "pla" (von lateinisch: plenus angulus) einzuführen, doch ist dieser Versuch im Entwurfsstadium stecken geblieben. Früher war auch der "rechte Winkel" bzw. "Rechter" eine gesetzliche Einheit.

Gebräuchliche Winkelmaße

• Grad (Einheit, dargestellt als °, entweder dezimal unterteilt oder in Minuten und Sekunden)
  • Rechter Winkel = 90°
  • Vollwinkel = 360°
• Radiant (Einheitenzeichen: rad), siehe auch unter : Arcus und Bogenmaß
  • Rechter Winkel = <math>frac{pi}{2}</math> rad
  • Vollwinkel = 2π rad
• Gon (veraltete Bezeichnung Neugrad) (Einheit dargestellt als gon)
  • Rechter Winkel = 100 gon
  • Vollwinkel = 400 gon
• Vollwinkel (besitzt kein Einheitenzeichen)
  • 90° = 0,25 Vollwinkel
• Zeitmaß – in der Sternkunde zur Angabe mancher Polarkoordinaten
  • z. B. Stundenwinkel: Vollwinkel = 24ʰ = 1 Sterntag
• Strich
  • nautisch: Vollwinkel = 32¯
  • militärisch: Vollwinkel = 6400 mil

Umrechnung (Winkelgrad - Bogenmaß):

Winkelgrad = <math>frac{180}{pi}cdot</math> Bogenmaß z. B. Bogenmaß = 1 daraus folgt Winkelgrad = 180:3,14 ≈ 57,3 Grad

Andere Möglichkeiten Winkel anzugeben

• Prozent (als Prozent des Vollkreises)
• Cosinus und Sinus (entspricht den Koordinaten auf dem Einheitskreis)

Spezielle Winkelpaare

Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.

Bild:Complementary angles.png Komplement- oder Komplementärwinkel

Bild:Supplementary angles.png Supplement- oder Ergänzungswinkel

Komplementwinkel oder Komplementärwinkel

Zwei Winkel heißen Komplementwinkel, wenn sie sich zu einem rechten Winkel (90°) ergänzen.

Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel

Zwei Winkel heißen Supplementwinkel, wenn sie sich zu 180° ergänzen.

Bild:Vertical angles.png Scheitelwinkel

Bild:Adjacency angles.png Nebenwinkel

Scheitelwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel.

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.

Nebenwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel.

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Sie sind also Supplementwinkel.

Bild:Neighbor angles.png Nachbar- oder E-Winkel

Nachbarwinkel oder E-Winkel

Schneidet eine Gerade <math>g</math> zwei alternative parallele Geraden <math>h</math> und <math>h'</math>, so bezeichnet man die Winkel <math>angle(g,h)</math> und <math>angle(g,h')</math>, die auf der selben Seite von <math>g</math> aber auf unterschiedlichen Seiten von <math>h</math> und <math>h'</math> liegen, als Nachbar- oder E-Winkel.

Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°.

Aus der Ergänzung der Winkel zu 180° kann umgedreht auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar <math>h</math>, <math>h'</math> von einer weiteren Geraden <math>g</math> so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel <math>angle(g,h)</math> und <math>angle(g,h')</math>, die auf der selben Seite von <math>g</math> aber jeweilig auf unterschiedlichen Seiten von <math>h</math> und <math>h'</math> liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden <math>h</math> und <math>h'</math> parallel.

Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Die folgenden Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln ermöglichen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.

Bild:Corresponding angles.png Stufen- oder F-Winkel

Stufenwinkel oder F-Winkel

Schneidet eine Gerade <math>g</math> zwei parallele Geraden <math>h</math> und <math>h'</math>, so heißen die Winkel <math>angle(g,h)</math> und <math>angle(g,h')</math>, die auf der selben Seite von <math>g</math> und alle beide entweder ober- oder darunter von <math>h</math> bzw. <math>h'</math> liegenheißen , Stufen- oder F-Winkel.

Stufenwinkel sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann invertiert auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar <math>h</math>, <math>h'</math> von einer weiteren Geraden <math>g</math> so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf der selben Seite von <math>g</math> und jedes Mal ober- oder unten von <math>h</math> und <math>h'</math> gleich groß sind, so sind die Geraden <math>h</math> und <math>h'</math> parallel.

Bild:Alternate angles.png Wechsel- oder Z-Winkel

Wechselwinkel oder Z-Winkel

Schneidet eine Gerade <math>g</math> zwei parallele Geraden <math>h</math> und <math>h'</math>, so heißen die Winkel <math>angle(g,h)</math> und <math>angle(g,h')</math>, die auf unterschiedlichen Seiten von <math>g</math> und unterschiedlichen Seiten von <math>h</math> bzw. <math>h'</math> liegen, Wechsel- oder Z-Winkel.

Wechselwinkel sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann invers auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar <math>h</math>, <math>h'</math> von einer weiteren Geraden <math>g</math> so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von <math>g</math> und unterschiedlichen Seiten von <math>h</math> bzw. <math>h'</math> gleich groß sind, so sind die Geraden <math>h</math> und <math>h'</math> parallel.

Bild:Pairwise perpendicular angles 1.png Winkel mit paarweise rechtwinklingen Schenkeln a)

Bild:Pairwise perpendicular angles 2.png Winkel mit paarweise rechtwinklingen Schenkeln b)

Winkel mit paarweise rechtwinkligen Schenkeln

Winkel, deren Haxe paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind entweder gleich groß a), oder ergänzen sich zu 180° b). Vergleiche nebenstehende Abbildungen.

Winkelkonstruktion

Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu gehören der 90 Grad-, 60 Grad-, 72 Grad- und 54 Grad-Winkel, sowie sämtliche Winkel, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Abzug (siehe unten) dieser Winkel entstehen.

Die Aussage, jeglicher Winkel kann allein mit Hilfe von Talkrunde und Abrichtlineal gedrittelt werden, gilt zusammenfassend nicht!

Konstruktion des 90-Grad-Winkels (oder rechten Winkels)

Man konstruiert vielmehr gesagt die Lot zu einer schon gegebenen Strecke.

Man nimmt zwei auf der Strecke im gleichen Abstand um den Scheitelpunkt liegende Punkte. Sofern der Scheitelpunkt der Randpunkt einer Strecke ist, so muss diese ein Stück verlängert werden.

Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel, steche am Scheitelpunkt ein und zeichne die beiden, gegenüberliegenden Schnittpunkte mit der (gegebenenfalls verlängerten) Strecke.

Nun bestimme man die Schnittpunkte zweier gleich großer, sich schneidender Kreise um die eben konstruierten Punkte und verbinde diese Schnittpunkte durch eine Gerade.

Konstruktion: Man nehme einen beliebig größeren Abstand in den Talkrunde als eben, steche jedes Mal an den Schnittpunkten auf der gegebenen Strecke ein und ziehe jeweilig einen Kreis. Nun verbinde man die beiden so entstanden, neuen Schnittpunkte der Kreise mit dem Lineal. Diese Verbindungslinie schneidet die gegebene Strecke im rechten Winkel und zwar genau im Scheitelpunkt.

Ratschlag: Man braucht die Kreise nicht ganz zu schlagen; Es genug jeweilig einen Bogenabschnitt zu ziehen, auf dem der Schnittpunkt liegt. Die Schnittpunkte liegen genau über (bzw. unter) dem Scheitelpunkt in senkrechter Verbindung zur gegebenen Strecke.

Daumenregel fürs Zeichnen: Je größer die Abstände und je größer der Unterschied zwischen den Abständen, desto vielmehr wird es.

Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte)

Man halbiert eine gegebene Strecke, in dem man Kreise, deren Einflussbereich größer ist als die Hälfte der Strecke, um die Endpunkte dieser Strecke zieht. Verbindet man nun die Schnittpunkte, die alle beide Kreise vereint haben, so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade genau in der Zentrum und im rechten Winkel. Infolgedessen wurde eine Mittelsenkrechte konstruiert.

Konstruktion eines 60-Grad-Winkels

Man konstruiert um den Scheitelpunkt auf einer gegebenen Strecke einen Kreis und trägt ausgehend vom Schnittpunkt zwischen Kreis und Strecke einmal den Gültigkeitsbereich des Kreises auf dem Kreis selbst ab. Die Verbindung zwischen Scheitelpunkt und dem so konstruierten Schnittpunkt schließt mit der gegebenen Gerade einen 60 Grad Winkel ein.

Konstruktion: Man nehme einen beliebigen Abstand in den Zirkel, steche im Scheitelpunkt ein und schlage einen Kreis. Den Abstand behalte man im Talkrunde und steche dann im Schnittpunkt zwischen Kreis und gegebener Gerade ein und zeichne einen weiteren Schnittpunkt mit dem Kreis. Man verbinde diesen Schnittpunkt und den Scheitelpunkt durch eine Linie per Lineal.

Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke):

Verbindet man zusätzlich den im ersten Schritt konstruierten Schnittpunkt auf der gegebenen Strecke mit dem zuletzt konstruierten Schnittpunkt, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck. Dieses hat folglich drei gleichgroße Winkel von je 60 Grad. Muss man also ein gleichseitiges Trigon aus gegebener Seitengröße konstruieren, so zeichne man eine Linie, nehme die Seitengröße in den Zirkel, und schlage um einen beliebigen Punkt auf der Linie einen Kreis. Man sticht auf dem Schnittpunkt zwischen Kreis und Linie ein und trägt so die Seitenlänge auf dem Kreis selbst ab. Nun verbinde man den zuletzt konstruierten Punkt mit beiden Einstichpunkten.

Folgerung (Konstruktion von Sechsecken (Hexagon))

Trägt man auf einem beliebigen Kreis den Radius, den der Kreis selbst hat, mit dem Sitzung ab, so erhält man, wenn man alle auf dem Kreis nebeneinanderliegenden Schnittpunkte durch eine Gerade verbindet, ein regelmäßiges Sechseck. Dies liegt daran, dass wenn man den Kreismittelpunkt mit den Ecken des Sechsecks verbindet jedes Mal 6 gleichseitige Dreiecke erhält, deren Winkel am Kreismittelpunkt jedes Mal 60 Grad betragen. 6x60 Grad = 360 Grad, also ein Kreis gleichschenkliger Dreiecke, deren Besonderheit ist, auch noch gleichseitig zu sein.

Konstruktion eines 72- oder 54-Grad-Winkels

Für die etwas exotischere Errichtung des 72°- oder des 54°-Winkels konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck.

Addition und Subtraktion von Winkeln

Ganz Winkel lässt sich zu einem anderen Winkel aufbauend addieren. Hierfür sticht man in den Punkt beim zu addierenden Winkel ein und schlägt einen Bogen, so dass er die Glied des Winkels schneidet. Der Gültigkeitsbereich des Bogens muss im Talkrunde aufheben werden; man schlägt nun einen Kreis (oder je nach Winkelgröße auch nur einen abzuschätzenden Bogen) um den Punkt bei dem Winkel, zu dem man addieren möchte, so dass dieser einen Oberschenkel ebendieses Winkels schneidet. Im Weiteren sticht man in den Schnittpunkt des Bogens mit einem der Extremität des zu addierenden Winkels ein und spannt diesen bis zum anderen Schenkel. Dieser Abstand wird erneut beibehalten, man schlägt nun einen Kreis um den Schnittpunkt des Bogens mit dem Oberschenkel des Winkels, zu dem man addieren möchte. Der Schnittpunkt der beiden Bögen wird mit dem Punkt beim Winkel, zu dem man addieren möchte, verbunden, und erhält so die Summe der beiden Ausgangswinkel.

Ebenso verhält es sich mit der Abzug eines Winkels, nur dass dabei der Winkel eben nicht an den Winkel zusätzlich angetragen wird, an Stelle so, dass der neue Extremität zwischen die Ausgangsschenkel des Winkels, von dem man abziehen möchte, liegt.

Winkelhalbierung

Ein Winkel besteht andauernd aus zwei Schenkeln, die sich im Scheitelpunkt treffen. Zieht man nun zwei gleichgroße Kreise auf je einem Haxe durch den Scheitelpunkt, so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende.

Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Sitzung und steche am Scheitelpunkt ein. Man zeichne so die Schnittpunkte mit den beiden Schenkeln ein. Nun behält man den Abstand im Zirkel, sticht an je einem der Schnittpunkte ein und schlägt um sie je einen Kreis. Man verbinde alle beide Schnittpunkte durch eine Linie mit dem Abrichtlineal und erhält so die Winkelhalbierende.

Folgerung

Konstruiert man die obigen Winkel (90°, 60°, 72° oder 54° oder deren Brummen bzw. Differenzen), so gewähren sich aus diesen per Winkelhalbierung übrige Winkel (45°, 30°, 36° und 27° oder den zugehörigen Surren bzw. Differenzen) konstruieren, die und deren Abkömmlinge sich wiederholt halbieren lassen.

Winkelmessung

• mit dem Geodreieck
• mit dem Theodolit
• mit dem Goniometer
• mit dem Sextanten
• historisch
  • mit dem Jakobsstab

Trivia

Es ist den meisten Volk nimmer so bewusst, aber wenn man sich aufmerksam umblickt, wird man feststellen, dass mehrere Sachen in der vom Mensch gemachten Umgebung rechtwinklig sind.

Weblinks

ar:زاوية

bg:Ъгъл ca:Angle cs:Úhel da:Vinkel (matematik) en:Angle eo:Angulo es:Ángulo fa:زاویه fi:Kulma fr:Angle gl:Ángulo he:זווית io:Angulo is:Bogagráða it:Angolo ja:角度 ko:각도 mk:Агол nl:Hoek (meetkunde) pl:KÄ�t pt:Ângulo ru:Угол simple:Angle sl:Kot sr:Угао (математика) sv:Vinkel ta:கோணம் tr:AçÄ� vi:Góc

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